Friss topikok

Naptár

március 2024
Hét Ked Sze Csü Pén Szo Vas
<<  < Archív
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31

Címkék

acc (1) ADHD (2) Afganisztán (1) Afrika (5) Ålesund (4) alkohol (2) állatok (2) álmok (35) alvás (1) Anglia (1) Anna (19) Ausztria (1) Ázsia (4) Balaton (1) Battlestar Galactica (9) Bayern München (1) blog (12) bölcsesség (2) bor (1) bosszúság (2) brazília (1) buddhizmus (7) címerek (4) covid-19 (5) családom (5) Csehország (1) csillagok (1) dánia (5) depresszió (16) design (1) DNA (2) Doctor Who (1) dráma (5) drogok (2) Egyesült Királyság (1) egyetem (5) Egyiptom (1) élet (15) erotika (14) eső (3) Eszter (4) Esztergom (3) ételek (10) Etiópia (1) feladvány (3) feminizmus (7) Ferenc pápa (2) festészet (7) fiatalság (1) filmek (27) filozófia (3) Finnország (1) Franciaország (1) futás (1) Gandalf (1) gasztroblog (3) geocaching (35) Gödel (1) görögország (1) gyerekkor (2) Győr (2) haiku (1) halál (26) Harry Potter (1) Harstad (5) Havel (1) hegyek (2) hideg (4) (1) homoszexualitás (6) höri (2) Huddinge (5) Húsvét (1) időjárás (1) imvns (1) India (1) Irán (1) iszlám (5) j-pop (1) Jämtland (2) Japán (2) játék (1) ji csing (1) Jucus (41) Juli (5) k-pop (12) kaland (8) kanada (1) karácsony (1) Katalónia (1) Katniss Everdeen (5) katolicizmus (8) katonaság (1) kémia (1) képek (28) kereszténység (34) kiribati (1) kolostor (4) költészet (16) kommunizmus (1) könyvek (35) Korea (27) közösség (1) kreativitás (2) kvantumfizika (1) lányaim (12) lányok (3) lappok (1) latin (1) Lea (9) Letterboxing (1) Lettország (2) líbia (1) Madagaszkár (1) Magyarország (10) Márai (1) masszázs (1) matematika (6) Mauritius (1) mese (5) Mosjøen (5) mosogatás (1) mrożek (1) munka (50) Munzee (1) nácizmus (2) Németország (3) Norvégia (29) nosztalgia (1) novella (3) nyaralás (3) nyelv (15) Olaszország (1) ördög (3) oroszország (1) Pali (1) Pannonhalma (1) pénz (1) Péter (2) Petra (4) pisi (2) poén (1) Pokémon (2) Polaris (1) politika (7) Pollyanna (1) prostitúció (9) pszichiátria (3) pszichológia (3) pszichoterápia (2) Rammstein (1) Ramon (1) rejtvény (6) remény (1) Roger (7) romantika (9) ruhák (1) sakk (1) sapka (2) sci fi (39) séta (2) Skandikamera (1) Skarpnäck (9) sopron (1) sör (1) Star Wars (2) Stockholm (50) svéd (7) Svédország (27) svenska (5) szabadkőművesség (5) szabadság (1) szegénység (2) szerelem (2) szerencse (1) szerepjáték (1) szeretet (1) szex (17) szimbólumok (2) Szíria (1) szobrászat (2) szorongás (1) tánc (3) tavasz (1) tél (1) térkép (1) Tetovált Lány (2) Thaiföld (8) titok (1) Törökország (2) toscana (1) Trump (1) Ukrajna (1) USA (4) utazás (11) vallás (16) Vége (1) vitorlázás (2) Ylvis (2) zászlók (27) zene (13) zöld foki szigetek (1) zsidóság (7) Címkefelhő

Látogatók

Látogatók - térkép

Történetek és gondolatok Északról és Délről

2014.07.01. 18:35 α Ursae Minoris

Banach–Tarski álom

Címkék: álmok matematika

Szerintem ezen a ponton fogja a legjóhiszeműbb olvasóm is kétségbe vonni, hogy én tényleg ilyenket álmodok, mint amikről itt beszámolok.
Pedig valóban így van – mondjuk azzal a pontosítással, hogy ez esetben talán nem szorosan vett álomról van szó, inkább az ébrenlét és az álom határán való lebegés sajátos termékéről.

Először viszont egy kis háttérinformációt kell megosztanom.

A Banach–Tarski paradoxon arról szól, hogy egy tömör gömböt fel lehet darabolni véges számú részre úgy, hogy aztán a részekből, pusztán csúsztatás és forgatás segítségével (tehát nagyítás és nyújtás nélkül!) két ugyanakkora gömböt lehet összerakni, mint amiből kiindultunk.
Vagy – ami ezzel egyenértékű – egy gömböt át lehet darabolni végés számú lépésben egy nagyobb gömbbé.
Ez nem is igazán paradoxon, mert nincs benne önellentmondás, csak a mi normál szemléletünkkel (a józan ésszel) ütközik.

Ami igazán paradox a dologban, az az, hogy Banach és Tarski annak idején tulajdonképpen azért alkották meg ezt a levezetést, hogy a bizonyítás során felhasznált kiválasztási axiómáról bemutassák, hogy téves, mert lám, ilyen abszurd következtetéshez vezet.
A kiválasztási axióma olyasmi a halmazelméletben, mint a párhuzamossági axióma a geometriában – arról biztos hallottatok már, tudjátok, Bolyai meg Lobacsevszkij. Szóval itt is kérdéses volt, hogy kell-e a kiválasztási axióma, illetve nem vezet-e ellentmondáshoz.
A megoldás itt is az lett, mint a geometriában – lehet ellentmondásmentes halmazelméletet csinálni a kiválasztási axiómával is, meg annak a tagadásával is.

axiom of choice.jpg

Szóval annak idején ennek az axiómának a megcáfolására készült Banach és Tarski – a mostani mainstream szemlélet szerint viszont az axiómával nincs semmi baj, és igen, valóban úgy van, ahogy ők levezették – egy gömb átdarabolható két ugyanolyan gömbbe vagy egy nagyobba.

Eddig volt a háttér, és akkor most jön az álom-gondolat:

Arra jöttem rá, hogy igazából csak az a meglepő és bonyolult a Banach–Tarski levezetésben, hogy véges számú darabbal megoldható a dolog.
Ha ugyanis a gömböt megszámlálhatatlanul végtelen számú darabra (nevezetesen a pontjaira) osztjuk fel, akkor egyszerűen csak minden egyes darabot/pontot sugárirányban a gömb középpontjától kétszer távolabbra toljuk, mint ahol addig volt, és már kész is a kétszer akkora sugarú gömb. Ehhez pedig az egyes részeket nem nagyítottuk, csak elcsúsztattuk.

11 komment

A bejegyzés trackback címe:

https://noreg.blog.hu/api/trackback/id/tr596464829

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

Hobbiszakács · http://hobbiszakacs.blog.hu 2014.07.04. 15:47:00

Ilyenkor vagyok boldog, hogy nem emlékszem az álmaimra. Ja, néhányra igen, de ők azóta már nagymamák.

"minden egyes darabot/pontot sugárirányban a gömb középpontjától kétszer távolabbra toljuk, mint ahol addig volt, és már kész is a kétszer akkora sugarú gömb. "

Ami azt illeti ugyancsak szellős lesz az a gömb, mert - szerintem - a szomszédos pontok nem érnek össze, hanem - te vagy a jobb matekos - 2xPIxR-nek a töredéke távolságra lesznek egymástól. Mint amikor a félig felfújt léggömbre kismillió pontot rajzolunk, utána pedig kétszeresére fújjuk fel.

α Ursae Minoris · http://noreg.blog.hu/ 2014.07.04. 15:57:48

@Hobbiszakács: Nem. Nem lesz szellős, pont ez a vicc, hogy az is ugyanolyan tömör lesz, mint az eredeti volt.

Nincsen olyan, hogy szomszédos pontok. :-)
Ha két pont között nulla (lenne) a távolság, akkor ugyanarról a pontról van szó, nem két külön pontról.
Ha két pont távolsága több, mint nulla, akkor viszont közöttük végtelen sok további pont is van (pl.a felezőpont, meg a felezőponttól való távolságok felezőpontjai és így tovább).

Nem lesz szellős az új, „felfújt” gömb, mert ha azt állítod, hogy egy adott helyen (α szögben, h surárirányú távolságra) egy lyuk van benne, akkor én azt mondom, hogy nézzük meg, hogy az eredeti gömbben volt-e egy pont α szögben h/2 távolságra. Igen, volt.
Úgyhogy akkor a nagyobb gömbben sincs lyuk az általad említett helyen.

Ja, ezek a furcsaságok a végtelen kontraintuitív tulajdonságaiból adódnak. :-)

Hobbiszakács · http://hobbiszakacs.blog.hu 2014.07.04. 17:01:14

"a nagyobb gömbben sincs lyuk az általad említett helyen."

Ott lehet, hogy nincs, de valahol csak van. Például a közepén :-)

Mert a B-T paradoxon asszongya, hogy:

"...egy tömör gömböt {..] át lehet darabolni végés számú lépésben egy nagyobb gömbbé."

Ha tömör, akkor valamilyen anyagból van, amihez nem adunk hozzá semmit, mégis meg lehet duplázni(!?)

A tömegmegmaradásnak akkor fuccs...
:-)

α Ursae Minoris · http://noreg.blog.hu/ 2014.07.04. 17:33:55

@Hobbiszakács: Középen sincs lyuk, mert a középpont ott marad, ahol van.
„Ha tömör, akkor valamilyen anyagból van, amihez nem adunk hozzá semmit, mégis meg lehet duplázni(!?)
A tömegmegmaradásnak akkor fuccs.”

Nincs anyagból, mert egy matematikai absztrakcióról van szó, de egyébként igen.
A térfogat-és a tömegmegmaradás itt elbukik.

Lady.Bird 2014.07.05. 16:50:36

@Hobbiszakács: a végtelen nem a tömegmegmaradásról szól, mert ha lenne tömeg, akkor lenne gravitáció, és a végtelen tömeg magába zuhanna :-))

arom 2014.07.06. 14:04:04

OMG. Még ha ehelyett: "vagy – ami ezzel egyenértékű – egy gömböt át lehet darabolni véges számú lépésben egy nagyobb gömbbé" az állna, hogy KÉT gömböt egy nagyobb gömbbé, akkor megkockáztatnám, hogy valamit értek is belőle :DDD

α Ursae Minoris · http://noreg.blog.hu/ 2014.07.06. 14:36:46

@arom: Ja, de pont ez benne a fura.
Van egy tíz centi sugarú gömböd, földarabolod, ide-oda rakosgatod a darabokat, és a végén lesz belőle mondjuk egy öt méter sugarú gömb.
Tömör. Lyukak nélkül. :-)

arom 2014.07.06. 16:05:16

Csoda-dolog ez a matematika. ;)

Juccantas 2022.07.22. 18:43:11

...és már kész is a lufiii!!! :D
süti beállítások módosítása